Trouver des réels dans R à partir d'un T

Trouver des réels dans R à partir d'un T
Message de diocletien posté le 29-03-2020 à 03:34:23 (S | E | F)
Soit le triplé (x1, x2, x3) ∈ R . Peut-on trouver des réels (d1, d2, d3) tels que (x1, x2, x3) =
d1 (1, 2, 1) + d2 (2, 5, 3) + d3 (1, 4, 3) ?
Respectueusement,

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Réponse : Trouver des réels dans R à partir d'un T de tiruxa, postée le 29-03-2020 à 12:11:45 (S | E)
Bonjour,

On peut se ramener à un système(3,3). Ecris le.

En retranchant le triplés de coeff des deux dernières équations on trouve le triplé de la première : (2, 5, 4) - (1, 3, 3) = (1, 2, 1)

On a donc un système particulier qui a une infinité de solutions si x1=x2-x3, mais aucune solution si ce n'est pas le cas.

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Réponse : Trouver des réels dans R à partir d'un T de diocletien, postée le 29-03-2020 à 13:57:48 (S | E)
Merci beaucoup Tiruxa pour ces conseils.
Du coup on trouve effectivement:
d1 + 2d2 + d3 = x1 (1)
2d1 + 5d2 + 4d3 = x2 (2)
d1 + 3d2 + 3d3 = x3 (3)
Additionnons x1 et x3:
d1+2d2+d3+d1+3d2+3d3=
2d1+5d2+4d3=x2
D'où x1+x3=x2
Quant au sens à donner à la question, qui reste un mystère, on peut noter ce qui vient à sa suite:
"Préciser s'il n'existe aucune, une ou une in􏰁finité de solutions. (Il n'est pas obligatoire de préciser les solutions si elles existent.)"

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Réponse : Trouver des réels dans R à partir d'un T de puente17, postée le 29-03-2020 à 15:55:46 (S | E)
Bonjour,
Quel est le déterminant de la matrice associée au système?

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Réponse : Trouver des réels dans R à partir d'un T de diocletien, postée le 29-03-2020 à 16:13:07 (S | E)
Bonjour Puente,
L'exercice est indépendant et libellé comme suit:
Soit le triplé (x1, x2, x3) ∈ R . Peut-on trouver des réels (d1, d2, d3) tels que (x1, x2, x3) =
d1 (1, 2, 1) + d2 (2, 5, 3) + d3 (1, 4, 3) ?
Préciser s'il n'existe aucune, une ou une in􏰁finité de solutions. (Il n'est pas obligatoire de préciser les solutions si elles existent.
Du coup pour la matrice on ne sait pas
En testant le système avec x1=2, x2=2, x3=5 (ci-dessous)on a un résultat incohérent. Est ce normal
d1+2d2+d3=2
2d1+5d2+4d3=2
d1+3d2+3d3=5
d1+2d2+d3+d1+3d2+3d3=
2d1+5d2+4d3=
7=2??


d1=2-d3-2d2
2(2-d3-2d2)+5d2+4d3=2
4-2d3-4d2+5d2+4d3=2
d2+2d3+4=2
d2=-2d3-2
d1=2-d3-2(-2d3-2)
d1=2-d3-(-4d3-4)
d1=2-d3+4d3+4
d1=6+3d3
6+3d3+3(-2d3-2)+3d3=5
6+3d3-6d3-6+3d3=5
0=5??

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Réponse : Trouver des réels dans R à partir d'un T de tiruxa, postée le 29-03-2020 à 16:38:12 (S | E)
Mais non ce n'est pas du tout incohérent cela signifie que ce systeme n'a pas de solution pour ces valeurs choisies.

Si tu sais calculer un déterminant (3,3) fais le on trouve 0 c'est une autre façon de prouver que le système est soit impossible soit indéterminé.

Mais ce que tu as fait en ajoutant les équations (1) et (3) était suffisant pour conclure ainsi.

En effet soit x1+x3=x2 et on a alors deux équations avec 3 inconnues (on peut résoudre et trouver une infinité de solutions)
soit x1+x3 est différent de x2 et il n'y a aucune solution (c'est le cas pour ton exemple x1=2, x2=2, x3=5)

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Réponse : Trouver des réels dans R à partir d'un T de diocletien, postée le 29-03-2020 à 16:39:39 (S | E)
Est ce que du coup on peut dire:
si x1+x3=x2.
Le système comporte des solutions. (Mais le problème c'est lesquelles, il y en a tellement ?)
si x1+x3 different de x2
Le système ne comporte aucune solution

Mais du coup pourquoi l'énoncé a indiqué qu'il n'est pas "obligatoire" de préciser les solutions si elles existent.
Est ce que ça veut dire qu'on pourrait déterminer des solutions précises alors qu'il semble y en avoir une infinité ?

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Réponse : Trouver des réels dans R à partir d'un T de tiruxa, postée le 29-03-2020 à 19:10:41 (S | E)
Bon puisqu'on te dit qu'il suffit de dire qu'il y en aune infinité.... cela s'arrête là.

Ceci dit on peut quand même exprimer les solutions en fonction d'une d'entre elles. (ici en fonction de d3 qui sera quelconque)

Si on soustrait les équations E1 et E3 membre à membre on a:

d2+2d3=3, donc d2=3-2d3

En reportant ceci dans E1

d1+2(3-2d3)+d3=5, on en déduit d1=-4+3d3

Tout triplet (-4+3d3,3-2d3,d3) où d3 est un réel quelcoque est solution, il y en a bien une infinité.

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Réponse : Trouver des réels dans R à partir d'un T de diocletien, postée le 29-03-2020 à 23:03:31 (S | E)
Eurêka, merci Tiruxa c'est vraiment gentil !

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