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Message de dani1505 posté le 21-04-2020 à 17:39:38 (S | E | F)
Bonjour,
J’aimerais recevoir une aide sur un exercice (pas compliqué mais que j’ai du mal à finir sur la dernière question).
Voici l’exercice:
On pose la matrice A = (0 1)
-2 3
1) Calculer les valeurs propres de A.
2) Montrer que A est diagonalisable.
3) Déterminer une base de vecteurs propres de A, et en déduire une matrice de passage P telle que (P^-1)*A*P= D soit diagonale. Exprimer les matrices D et P.
4) Calculer A^k pour tout k appartenant à N (ensemble des entiers naturels)
Jusqu’à la 3, tout est très facile. Je trouve 1 et 2 pour les valeurs propres de A, elles sont distinctes donc A est diagonalisable. Je trouve ensuite les vecteurs propres (1,1) et (1/2,1) puis j’en déduis D et P.
C’est pour la question 4 ou ça coince. J’ai calculé les 5 premières matrices (pour k=1,2,3,4,5) et j’ai remarqué que la 2ème ligne de chaque matrice était là première ligne de sa matrice suivante. J’ai essayé de trouver une relation entre A^k et A^k+1 ou A^k-1 mais j’ai du mal.
Merci d’avance pour votre aide.
Message de dani1505 posté le 21-04-2020 à 17:39:38 (S | E | F)
Bonjour,
J’aimerais recevoir une aide sur un exercice (pas compliqué mais que j’ai du mal à finir sur la dernière question).
Voici l’exercice:
On pose la matrice A = (0 1)
-2 3
1) Calculer les valeurs propres de A.
2) Montrer que A est diagonalisable.
3) Déterminer une base de vecteurs propres de A, et en déduire une matrice de passage P telle que (P^-1)*A*P= D soit diagonale. Exprimer les matrices D et P.
4) Calculer A^k pour tout k appartenant à N (ensemble des entiers naturels)
Jusqu’à la 3, tout est très facile. Je trouve 1 et 2 pour les valeurs propres de A, elles sont distinctes donc A est diagonalisable. Je trouve ensuite les vecteurs propres (1,1) et (1/2,1) puis j’en déduis D et P.
C’est pour la question 4 ou ça coince. J’ai calculé les 5 premières matrices (pour k=1,2,3,4,5) et j’ai remarqué que la 2ème ligne de chaque matrice était là première ligne de sa matrice suivante. J’ai essayé de trouver une relation entre A^k et A^k+1 ou A^k-1 mais j’ai du mal.
Merci d’avance pour votre aide.
Réponse : Matrices de hicham15, postée le 21-04-2020 à 18:48:43 (S | E)
Bonjour
Vous avez (P^-1)*A*P= D Donc A = P*D*(P^-1).
Alors ca sera simple maintenant de calculer les puissance de A.
par exemple A^2 = P*D*(P^-1) * P*D*(P^-1) = P*D^2*(P^-1)
D'une manière générale, A^k = P*D^k*(P^-1)
Et les puissances d'une matrice diagonales sont simple à calculer... Donc c'est la formule demandé.
cet exercice revient beaucoup, donc rappelez vous toujours que la diagonalisation facilite le calcul des puissances
Bonne journée
Réponse : Matrices de dani1505, postée le 21-04-2020 à 20:28:31 (S | E)
Merci pour votre réponse.
Réponse : Matrices de hicham15, postée le 21-04-2020 à 21:13:13 (S | E)
De rien 👍
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