Diagonalisation

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Diagonalisation
Message de dani1505 posté le 27-04-2020 à 13:58:35 (S | E | F)
Bonjour,
J’ai un exercice à faire sur la diagonalisation. Voici l’exercice:

Pour quelles valeurs du paramètre k la matrice

(3-k -k 1)
A= (k-1 k+2 -1)
(k+1 k 3)

est-elle diagonalisable ? Pour ces valeurs de k, déterminer une base de R^3 composée de vecteurs propres de A.

La question est claire. J’ai donc commencé à calculer le polynôme caractéristique de A (long calcul) et j’obtiens un polynôme ne dépendant pas de k (les termes en k et xk s’annulent au cours du calcul) et égal à -x^3 + 8x^2 -20x +16. Je suis donc embêté car j’ai beau refaire le calcul, le résultat ne me permet pas de répondre à la question.
Merci d’avance de votre aide.

Réponse : Diagonalisation de dani1505, postée le 27-04-2020 à 14:06:47 (S | E)
rectification:
A= ( 3-k -k 1)
(k-1 k+2 -1)
(k+1 k 3)

Réponse : Diagonalisation de pirouette, postée le 27-04-2020 à 17:58:03 (S | E)
Bonjour,
j'ai fait le long calcul. Je confirme la longueur et un résultat identique de mon côté.
Ensuite j'ai factorisé le polynôme caractéristique.
(x - 2)² (4 - x)
N'ayant pas étudié "ces choses", juste découvert des extraits de vidéos, ... suis pas en mesure de dire plus sur la diagonalisation.

Réponse : Diagonalisation de tiruxa, postée le 28-04-2020 à 14:20:51 (S | E)
Bonjour,

Le calcul est juste.

Bon après il faut chercher les vecteurs propres... on doit en trouver deux pour la valeur propre 2 qui est double...

Réponse : Diagonalisation de dani1505, postée le 28-04-2020 à 15:44:25 (S | E)
Bonjour, j’ai justement trouvé qu’un seul vecteur propre pour la valeur double ...

Réponse : Diagonalisation de tiruxa, postée le 28-04-2020 à 17:58:42 (S | E)
Bon normalement c'est valable quel que soit k, si on prend k=0, la matrice devient :

3 0 1
-1 2 -1
1 0 3

et MX=2X
donne trois fois la même équation x+z=0

C'est l'équation d'un plan, une base peut être (1,0,-1) (0,1,0)

Normalement cela devrait être identique pour k quelconque, je vais vérifier...

Réponse : Diagonalisation de tiruxa, postée le 28-04-2020 à 18:33:50 (S | E)
Oui désolé j'avaisun peu oublié le cours sur la diagonalisation...

En fait la matrice est diagonalisable si et seulement si le sev associé à la valeur propre 2 est de dimension 2

Donc pour k=0 c'est vrai, mais cela ne marche par pour tout réel k comme je le disais plus haut...mea culpa...

Il faut donc chercher les vecteurs propres associés à 2 dans le cas général pour pouvoir conclure.

Réponse : Diagonalisation de dani1505, postée le 28-04-2020 à 18:46:38 (S | E)
Bonjour,
Je savais déjà que la matrice est diagonalisable uniquement si k=0 (c’est quand même sympa d’avoir une confirmation 👍) mais en déterminant les vecteurs propres pour les 2 et 4, je devrais normalement en trouver 3, je trouve le vect (-1,0,1) pour la valeur propre 4 et le vecteur (-1,0,1) pour la valeur 2. Je ne comprends pas commeny Trouver le 2ème vecteur propre associé à la valeur 2 (car 2 est une racine double ici).

Réponse : Diagonalisation de dani1505, postée le 28-04-2020 à 18:47:21 (S | E)
Je c’est que le vecteur que je cherche est (0,1,0) mais je ne vois pas comment l’obtenir

Réponse : Diagonalisation de tiruxa, postée le 28-04-2020 à 18:47:46 (S | E)
Dans le cas général

MX=2X donne 3 équations

(1-k)x -ky + z =0
(k-1)x +ky - z =0
(k+1)x +ky +z =0

Pour avoir un sev de dim 2 soit un plan on doit avoir trois fois la même équation, c'est le cas pour les deux premières (les coefficients sont proportionnels)
Donc on aura un plan ssi la troisieme équation est équivalente à la première.
Or les coeff de z sont identiques (dans la 1er et la 3eme) donc il doit en être de même pour les coeff de x et de y :
1-k = k+1 et -k=k
ce qui est équivalent à k=0.

Donc M est diagonalisable si et seulment si k=0.

Réponse : Diagonalisation de dani1505, postée le 28-04-2020 à 18:48:42 (S | E)
Rectification: je trouve le vecteur (1,-1,1) pour la valeur 4 et (-1,0,1) pour la valeur 2.

Réponse : Diagonalisation de tiruxa, postée le 28-04-2020 à 18:52:22 (S | E)
Au sujet de (0,1,0)

Quand k = 0, l'équation du plan est x+z=0

Il suffit alors de trouver deux vecteurs linéairement indépendants dont les coordonnées vérifient x+z=0

On peut prendre (1,0,-1) mais aussi (0,1,0) le tout c'est que les deux ne soient pas colinéaires ce qui est la cas et que les deux vérifient x+z=0.

Réponse : Diagonalisation de tiruxa, postée le 28-04-2020 à 18:56:35 (S | E)
Je suis ok pour la valeur 4.

Pour la valeur 2 ce qu'il faut comprendre c'est que l'équation est x+z=0 et y quelconque dans R.
donc z=-x avec x qq dans R et y qq dans R

Si on prend x=1 et y =0 on a (1,0,-1)
Si on prends x=0 et y = 1, on a (0,1,0)

Réponse : Diagonalisation de dani1505, postée le 28-04-2020 à 18:57:54 (S | E)
Merci, c’est plus clair désormais.

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