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Variable aléatoire discrète
Message de math52 posté le 14-05-2020 à 22:11:58 (S | E | F)
Bonjour tout le monde,
Voici un nouvel exercice sur les variables aléatoires discretes, j'aurais besoin de votre aide et de votre avis sur les questions suivantes, Merci d'avance !!!!
Une puce saute d’un centimètre sur sa droite avec probabilite 2/3 et sur sa gauche avec probabilite 1/3.
On note Xn la variable aléatoire valant 1 si la puce a sauté sur sa droite et -1 si elle a sauté sur sa gauche. On suppose ses deplacements indépendants et que la puce part d’un endroit repéré.
1. Que représente la variable aléatoire Sn=X1+···+Xn?
2. Soit la variable aléatoire définie par Yk= (Xk+1)/2. Déterminer P[Yk= 1] etP[Yk= 0]. Quelle est la loi deYk?
3. On poseBn=Y1+···+Yn. Quelle est la loi de la variable aléatoireBn?
4. On fixe provisoirement n= 10. Quelle est la probabilité pour que B10= 5 ?
5. En utilisant la question précédente, déterminer avec quelle probailité la puce est de nouveau à son point de départ 0 après 10 sauts.
6. Ecrire une relation reliant Sn et Bn.
7. Après n sauts quelle est la position moyenne de la puce relativement à son point de départ ?
8. La puce peut-elle être revenue à son point de départ après un nombre impair de sauts ? Expliquez.
9. Exprimer la probabilité pour que la puce se trouve à son point de départ après n= 2k sauts.
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Modifié par math52 le 14-05-2020 22:12
Message de math52 posté le 14-05-2020 à 22:11:58 (S | E | F)
Bonjour tout le monde,
Voici un nouvel exercice sur les variables aléatoires discretes, j'aurais besoin de votre aide et de votre avis sur les questions suivantes, Merci d'avance !!!!
Une puce saute d’un centimètre sur sa droite avec probabilite 2/3 et sur sa gauche avec probabilite 1/3.
On note Xn la variable aléatoire valant 1 si la puce a sauté sur sa droite et -1 si elle a sauté sur sa gauche. On suppose ses deplacements indépendants et que la puce part d’un endroit repéré.
1. Que représente la variable aléatoire Sn=X1+···+Xn?
2. Soit la variable aléatoire définie par Yk= (Xk+1)/2. Déterminer P[Yk= 1] etP[Yk= 0]. Quelle est la loi deYk?
3. On poseBn=Y1+···+Yn. Quelle est la loi de la variable aléatoireBn?
4. On fixe provisoirement n= 10. Quelle est la probabilité pour que B10= 5 ?
5. En utilisant la question précédente, déterminer avec quelle probailité la puce est de nouveau à son point de départ 0 après 10 sauts.
6. Ecrire une relation reliant Sn et Bn.
7. Après n sauts quelle est la position moyenne de la puce relativement à son point de départ ?
8. La puce peut-elle être revenue à son point de départ après un nombre impair de sauts ? Expliquez.
9. Exprimer la probabilité pour que la puce se trouve à son point de départ après n= 2k sauts.
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Modifié par math52 le 14-05-2020 22:12
Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 15-05-2020 à 07:30:41 (S | E)
Bonjour,
Quelques aides pour les premières questions, mais il serait bon de dire ce que tu as réussi ou commencé à traiter...
1) Si on prend comme origine son point de départ, le centimètre comme unité et la droite comme sens positif, cette droite devient un axe, je te laisse deviner ce que vaut Sn.
2)Si Xk vaut 1, Yk=(1+1)/2=1, si Xk vaut -1, Yk=0
la suite en découle...
3)Bn compte le nombre de fois où Yk vaut 1 c'est à dire où Xk vaut 1 sur cette succession de n épreuves indépendantes à deux issues.... la conclusion me semble claire..
Après on utilise cette loi... bon travail
Réponse : Variable aléatoire discrète de math52, postée le 15-05-2020 à 18:25:46 (S | E)
Bonjour,
D'abord, merci de votre aide
J'ai effectué la question 1 en expliquant que Sn = somme des Xn et donc que c'est la somme des sauts de la puce
Maintenant en ce qui concerne la question je n'arrive pas à comprendre ce que représente Yk, pour moi P[Yk=1] = 1, j'ai réalisé le calcul suivant (Xk+1)/2 =1 on trouve Xk=1 et pareil pour (Xk+1)/2 = 0 je trouves -1 donc P[Yk=0]=-1. Enfin, pour déterminer la loi, je suppose que c'est une loi de Bernoulli de paramètre (n;2/3)
Pour la question 3 même chose je n'arrives pas à comprendre ce que vaut Bn. Je dirai que Bn suit une loi binomiale étant donné que Bn = Y1 + ..; +Yn
Je n'arrive pas à comprendre la différence entre Bn et Sn et entre n et k..
Qu'en pensez vous ?
Bonne soirée à vous !
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Modifié par math52 le 15-05-2020 18:42
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Modifié par math52 le 15-05-2020 18:56
Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 15-05-2020 à 19:00:24 (S | E)
Bonsoir,
Déjà sur les premières questions cela manque de rigueur :
Pour le 1°
Dire que Sn est une somme n'est pas suffisant, on sait déjà que Sn=X1+X2+...+Xn !
Prenons un exemple pour n=3, si X1=1, X2=1 et X3=-1, on a S3=1+1-1=1
Cela signifie que l'on est arrivé à 1cm à droite du point de départ (on a fait deux sauts à droite et un à gauche)
Autrement dit que l'on est arrivé au point d'abscisse 1 sur l'axe que j'avais défini dans mon message précédent.
Il suffit de généraliser cet exemple...
Pour le 2°
Ok. Yk prend les valeurs 1 et 0 avec les probabilités 2/3 et 1/3 données dans l'énoncé.
C'est bien une variable aléatoire de Bernoulli (attention pas un schéma de Bernoulli !)
Le schema de Bernoulli intervient au 3eme, Bn c'est le nombre de succès de ce schéma (si on appelle succés le fait de sauter à droite)
Bn suit donc la loi bien connue...
Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 15-05-2020 à 19:45:02 (S | E)
Au sujet de Bn et Sn
Bn c'est le nombre de sauts à droite effecturés et Sn c'est l'abscisse du point d'arrivée.
Dans l'exemple pris précédemmment avec 3 sauts (deux à droite et un à gauche) on a S3 = 1 et B3 = 2, pour passer de B3 à S3 il faut voir que l'on a B3 sauts à droite et donc 3-B3 saut à gauche donc l'abscisse X3 est telle que
X3=B3*1+ (n-B3)*(-1) c'est à dire 2*1 + (3-2)*(-1)=2-1=1
reste à généraliser...
Réponse : Variable aléatoire discrète de math52, postée le 15-05-2020 à 20:24:58 (S | E)
D'accord j'ai bien compris les 3 premières questions.
Pour la question 4 je vais me pencher dessus, pour la question 5 je suppose qu'il faut faire 2/3^5*1/3^5 ce qui donne 0,054%.
Pour la 7 je suppose qu'il faut utiliser l'espérance de la loi binomiale.
Pour la 8, la une ne peut jamais revenir sur son point de départ lorsque n est impair mais je ne sais pas comment justifier..
J'essaie de comprendre la différence entre Bn et Sn
Réponse : Variable aléatoire discrète de math52, postée le 15-05-2020 à 21:33:56 (S | E)
Re-bonjour,
Je reviens vers vous pour vous montrer ce que je pense.
Dans la question 4 on recherche la probabilité de B10=5 j'ai donc utilisé la formule de la loi binomiale : 10!/5!*(10-5)! * 2/3^5 * 1/3^5 ce qui me donne 13,65%.
J'ai bien compris qu'ici B10 = 5 signifie que sur 10 sauts il y en a eu 5 sur la droite, c'est bien ça ?
Pour la question 6, je suppose donc que la relation entre Sn et Bn est la suivante : Sn = Bn + (1-Bn)
Pour la 7, j'aurais tendance a utiliser l'espérance de la Loi géométrique 1/p = 1/ 2/3 = 3/2
Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 15-05-2020 à 23:41:36 (S | E)
Bonsoir
Pour la 6) je l'avais donné : X3=B3*1+ (n-B3)*(-1), il suffisait de remplacer 3 par n !
Pour la 7, il faut calculer la moyenne de Bn (loi binomiale donc) et en déduire celle de Xn en utilisant la relation du 6°)
Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 16-05-2020 à 00:02:24 (S | E)
Pour la 4) vous aviez oublié le nombre de combinaisons, mais là c'est juste après correction.
Oui B10=5 c'est bien 5 sauts à droite et 5 à gauche.
Pour la 8 demandez vous combien il faut de sauts à droite et de sauts à gauche, en tout, si l'on souhaite revenir au point de départ ?
Réponse : Variable aléatoire discrète de math52, postée le 16-05-2020 à 08:25:26 (S | E)
Je reviens vers vous concernant la question 5, selon moi avec 10 sauts la puce revient sur son point de départ au bout de 5 à droite et 5 à gauche mais il se trouve que cela revient a faire le même calcul qu'à la question 5 à savoir : 5 parmi 10 * 2/3^5 *1/3^5, on s'aperçoit donc qu'il faut forcément un nombre pair et on voit aussi que pour revenir au point de départ c'est toujours la moitié des sauts à droite et l'autre moitié à gauche (ici 10 sauts, pour revenir à 0 il faut faire soit 5 sauts à gauche puis 5 sauts à droite, je ne vois pas d'autre manière).
Pour la question 6 la relation est donc Sn = Bn*1 + (n-Bn)*(-1)
Pour la 7, la moyenne/espérance = n*p, ici le n n'est pas défini on pose alors 2/3*n ?
Pour la 8, étant donné qu'il faut autant de sauts de chaque coté pour revenir au point de départ, il faut forcément un nombre pair. N= 20 on ferait donc 10 sauts à droite et 10 sauts à gauche quoiqu'il arrive, alors que si n=19 on ferait soit 10 sauts à droite et 9 sauts à gauche ce qui donnerait 1 ou alors 10 sauts à gauche et 9 sauts à droite ce qui donnerait -1.
Pour la 9ème question, je n'arrive pas à savoir quelle relation utiliser, faut-il juste remplacer les n de la relation du 6 par 2k ?
Merci beaucoup pour votre aide ! 💪
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Modifié par math52 le 16-05-2020 08:29
Réponse : Variable aléatoire discrète de tiruxa, postée le 16-05-2020 à 12:26:53 (S | E)
Je reviens vers vous concernant la question 5, selon moi avec 10 sauts la puce revient sur son point de départ au bout de 5 à droite et 5 à gauche mais il se trouve que cela revient a faire le même calcul qu'à la question 5 à savoir : 5 parmi 10 * 2/3^5 *1/3^5, on s'aperçoit donc qu'il faut forcément un nombre pair et on voit aussi que pour revenir au point de départ c'est toujours la moitié des sauts à droite et l'autre moitié à gauche (ici 10 sauts, pour revenir à 0 il faut faire soit 5 sauts à gauche puis 5 sauts à droite, je ne vois pas d'autre manière).
INDISPENSABLES : 