Equation second degrï¿½

Equation second degré
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Equation second degré
Message de perfect posté le 20-09-2020 à 11:26:09 (S | E | F)
Bonjour à tous,

Voici un exercice qui me pose quelques difficultés :

1) Vérifier que (3-sqrt(2))²=11-6sqrt(2)
2) En déduire les solutions de x² + (1+sqrt(2))x + 2(sqrt(2)-1)=0
3) Plus généralement, pour tout entier n >= 2, comment résoudre l'équation x²+(n-1+sqrt(n))x +n(sqrt(n)-1)=0

J'aimerais seulement avoir des indication afin de m'orienter sur piste de réflexion.
Je ne comprends par exemple pas la déduction du 1) pour passer au 2)

Merci beaucoup!

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Modifié par perfect le 20-09-2020 11:26

Réponse : Equation second degré de tiruxa, postée le 20-09-2020 à 11:59:16 (S | E)
Bonjour,

Dans le 2) je suppose que tu as calculé le discriminant Delta, normalement tu dois trouver le second membre de l'égalité du 1) ce qui te permet de trouver une expression simple de la racine carrée de delta.

Pour le 3 il faut faire de même, sauf que là c'est moins facile car on ne dispose pas d'une égalité comme celle du 1, c'est à toi de la trouver.

Bon travail

Ps : Dis nous si cela t'a suffi sinon pose une autre question.

Réponse : Equation second degré de tiruxa, postée le 20-09-2020 à 12:06:31 (S | E)
Petit indice pour le 3, il s'agit du cas général, dans le 1) et le 2 on avait n=2...

Réponse : Equation second degré de perfect, postée le 20-09-2020 à 15:47:40 (S | E)
Bonjour,

Merci énormément! Je ne comprenais pas vraiment le sens du mot "déduire" mais c'est ce que vous m'avez conseillé que j'ai fait.
Delta =11-sqrt(2) et sqrt(delta)= 3-sqrt(2)
x1=1-sqrt(2)
x2=-2

Et pour le 3) j'avais l'intuition de dire que pour le cas générale, x1 serait donc égale à 1-sqrt(n) et x2= -n. Et le deuxième message d'aide que vous avez posté confirme mon intuition mais comment pourrais-je le justifier ?

Merci encore!

Réponse : Equation second degré de wab51, postée le 20-09-2020 à 17:20:52 (S | E)
Bonjour

Dans la Q-2),il s'agit de "déduire les racines" et qui veut aussi laisser entendre "sans les calculer". Pour cela ,il faut commencer par déterminer les signes des deux racines x' et x" à partir du signe de leur produit P=x'*x"=c/a=2(sqrt(2)-1) (P˃0 donc x' et x" sont de même signe :soient toutes les deux positives ou négatives)puis celui de leur somme S=x'+ x" =-b/a=-(1+sqrt(2)) (donc soit elles sont négatives ou elles sont de signe contraire dont la racine qui a la plus grande valeur absolue est négative ).De ses deux résultats ,on en déduit que les racines x' et x" sont toutes les deux négatives x'<0 et x"<0.Par conséquent ,il faut penser simplement à écrire le produit P=x'*x"=2*(sqrt(2)-1) non pas comme un produit de deux nombres positifs 2 et (sqrt(2)-1) mais comme produit de deux nombres négatifs :2*(sqrt(2)-1)=(-2)*(-1)(sqrt(2)-1)=(-2)*(1-sqrt(2)),d'où x'=-2 et x"=1-sqrt(2) et pour la somme somme S=x'+x"=(-2)+(1-sqrt(2))=-1-sqrt(2)=-(1+sqrt(2) .Enfin et pour vérification ,il suffit d'injecter les valeurs de P et de S dans l'équation x²-S*x+P=0 pour observer que les deux équations sont identiquement égales .Merci .

Réponse : Equation second degré de wab51, postée le 20-09-2020 à 17:53:24 (S | E)
Bonjour
Vous êtes un nouveau membre .Bienvenue. Mais, il y a certaines règles auxquelles doivent se conformer tous les membres de ce site.Il n'est pas toléré d'utiliser le topic d'un autre membre pour un nouveau sujet .Je vous invite aimablement à supprimer votre message en appuyant sur la lettre "S" située au dessus de votre message .(et ce message sera supprimé).
2)La deuxième étape ,vous l'aviez déjà faite et c'est conforme à la règle (en ouvrant un autre topic en votre pseudo) .Merci

Réponse : Equation second degré de sabrinael, postée le 20-09-2020 à 18:27:17 (S | E)
Merci beaucoup ms ses juste je mettait tromper je vient de le supprimer merci de me l’avoir dit vous Poirier m’aider Si vous pouvez sur mon exercice merci d’avance

Réponse : Equation second degré de tiruxa, postée le 20-09-2020 à 19:36:20 (S | E)
Bonjour Web51,

Pour une fois je ne suis pas entièrement d'accord avec ton post.

Ok que l'on peut intuitivement trouver les racines de l'équation du 2 comme tu l'as très bien expliqué, mais il est écrit "En déduire", ce qui signifie déduire du 1) la résolution du 2).

Donc calcul du delta et utilisation du 1) pour "en déduire" racine de delta en enfin les solutions.

Indice pour Perfect :

Pour la 3) soit tu fais avec la somme et le produit comme l'a expliqué Web51, soit tu développes (n+1-sqrt(n))² comme dans le 1), en effet si 2=n on a 3= n+1.

Réponse : Equation second degré de wab51, postée le 20-09-2020 à 21:42:45 (S | E)
Bonsoir tiruxa
Parfaitement tiruxa .Votre réponse m'avait semblé tout à fait logique et d'ailleurs c'est l'idée que j'avais aussi en tête .Mais c'est par la suite en pensant porter plus d'attention sur la forme de la formulation des deux questions distinctes et séparées 1)Vérifier ... 2)En déduire ... que je m'étais dit que cette formulation ne devrait pas être cohérente avec ce type de raisonnement à partir du calcul de ∆ mais qu'il aurait été peut-être mieux conçu l'idée d'une seule formulation en juxtaposant les deux questions en introduisant une conjonction de coordination "puis":
1)Vérifier que ... puisen déduire ...
ce qui aurait laissé voir que "le calcul de la valeur de ∆ ne poserait plus de problème pour savoir qu'il s'agit d'un carré carré.
Je vous remercie infiniment .Et avec vous ,il y'a toujours le plaisir d'apprendre .

Réponse : Equation second degré de tiruxa, postée le 21-09-2020 à 10:52:14 (S | E)
Bonjour Wab51,

Merci beaucoup pour vos compliments, vos interventions souvent bien illustrées sont aussi fort intéressantes.

En effet il y avait sans doute des formulations plus explicites.
On pouvait aussi carrément supprimer la première question mais, à mon sens, cela devenait plus astucieux.

Certes on peut se dire qu'il y a peut-être une racine "évidente", en l'occurence (-2) mais il faut beaucoup de pratique pour penser à cela. Le produit c/a servant bien sûr à trouver l'autre.

Cela donne d'ailleurs une méthode de résolution du 3) plus rapide, en passant de 2 à n.

Bonne journée à vous (ou à toi.... désolé si je me perds parfois entre le tu et le vous)

Réponse : Equation second degré de wab51, postée le 21-09-2020 à 14:16:18 (S | E)
Bonjour tiruxa

Merci .On peut se tutoyer ,pas de problème.(cela fait beaucoup bien longtemps que nous nous connaissions dans ce merveilleux site).

Et pour terminer ,voici une figure dynamique (Q-3): Lien internet
. Très bonne journée .

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