Dm sur les nombres complexes

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Dm sur les nombres complexes
Message de aelaa posté le 31-12-2020 à 02:51:17 (S | E | F)
Bonjour, j'ai un dm à rendre pour la rentrée mais je bloque un peu sur la première question...

Voici l'énoncé :

Pour tout nombre complexe z = x + iy, on associe le complexe Z = z² - 2iz + 2

1- Ecrire Z sous forme algébrique en fonction de x et de y
2- Si z est imaginaire pur montrer que Z est réel

Je ne sais pas si il faut que je développe Z ou si il faut plutôt que je calcule le discriminant vu que nous sommes sur un polynôme du second degré

J'ai tenté de faire les deux, pour le développement je finis par être bloquée :
Z = (x + iy)² - 2i (x + iy) + 2
= x² + 2xiy - y² - 2ix + 2y + 2
à partir de là je ne sais pas vraiment quoi faire, j'ai tenté de mettre i en facteur mais ca ne m'a servit à rien...

Pour le discriminant, j'ai fait :
delta = b² - 4ac
= (-2i)² - 4 x 1 x 2
= (-2)² x (-1) - 8
= -4 - 8 = -12
j'en ai déduit que -12 était le carré de 12i
ensuite j'ai fait z1 = -2i - 12i / 2
mais a partir de la je bloque pour trouver une forme algébrique...

Pouvez-vous m'aider sur cet exercice de maths ? Merci d'avance😀

Réponse : Dm sur les nombres complexes de roseodile, postée le 31-12-2020 à 06:19:48 (S | E)
Bonjour, le calcul du discriminant est inutile.
Pour la première question on demande d'écrire Z sous forme algèbrique, c'est à dire sous la forme a + ib avec a et b réels à partir de Z=x² + 2xiy - y² - 2ix + 2y + 2, il suffir de regrouper les termes .On obtient
Z=( x² - y² + 2y + 2) + i(2xy -2x). La partie réelle de Z est x² - y² + 2y + 2, je te laisse trouver la partie imaginaire....
Dans la deuxième question z est imaginaire pur alors x= 0, on remplace x par 0 et la réponse est évidente.
Bon courage

Réponse : Dm sur les nombres complexes de aelaa, postée le 31-12-2020 à 18:44:33 (S | E)
Merci beaucoup pour ta réponse, j'ai suivi tes conseils et j'ai pu du coup répondre aux deux questions, la troisième est "la réciproque est-elle vraie", il faut donc que je vois si, lorsque Z est réel, z est-il forcement imaginaire pur
J'ai tenté de montrer que cette réciproque est fausse en trouvant des réels x et y permettant de supprimer i
j'ai prix x = 2 et y = 1 puis j'ai résolu l'équation :
(x² - y² + 2y + 2) + i(2xy - 2x)

(2²- 1² + 2*1 + 2) + i(2*2*1 - 2*2)

= 7 + 0i
est-ce suffisant pour montrer que la réciproque est fausse ? Sachant que j'ai pu démontrer que Z pouvait être un réel même si z n'était pas imaginaire pur

Pour la dernière question j'ai "déterminer l'ensemble des nombres complexes z tel que Z soit réel"

Réponse : Dm sur les nombres complexes de roseodile, postée le 01-01-2021 à 06:39:06 (S | E)
Bonjour,
Effectivement tu as trouvé un un nombre complexe z qui n'est pas imaginaire pur tel que Z soit réel.
Pour la question suivante il faut trouver tous les solutions pour lesquelles Z est imaginaire pur. On doit avoir 2xy - 2x = 0. La résolution de cette équation est facile, il y a une factorisation évidente...
Boncourage et bonne année

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