Pï¿½riode d'une fonction

Période d'une fonction
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Période d'une fonction
Message de maskhonit posté le 04-11-2021 à 16:21:45 (S | E | F)
Bonjour,
J’aurais besoin d'aide pour résoudre une question car je ne sais pas comment m'y prendre:
-Déterminer la (plus petite) période de la fonction f (x)=cos (3x + 1) + 2 et réduire au maximum son intervalle d’étude, en utilisant les symétries du graphe de f.

Pour la période:
cos (3x + 1) + 2
= cos (3x + 1 + 2kπ) + 2
= cos (3(x + (2kπ/3))+ 1 ) + 2
Donc T=2π/3

Mais comment démontrer que 2π/3 est la plus petite période de f?

Merci d'avance pour votre aide

Réponse : Période d'une fonction de wab51, postée le 04-11-2021 à 19:23:31 (S | E)
Bonsoir

cos (3x + 1) + 2
= cos (3x + 1 + 2kπ) + 2
= cos (3(x + (2kπ/3))+ 1 ) + 2
Donc T=2π/3 (la plus petite période s'obtient avec k=1 (voir definition générale ci-dessous).

Sinon un autre petit raisonnement (en sachant que cos(x)=cos(x+2 $\pi$ ) :

Voici la definition générale : f : D $\rightarrow$ R une fonction d'une variable réelle et P un réel strictement positif , P $\in$ R*+.L fonction f est périodique de période P (ou P=périodique) si pour tout x $\in$ D on a x+P $\in$ D et f(x+P)=f(x) . P est la plus petite période qui vérifie la definition générale .

Réponse : Période d'une fonction de wab51, postée le 05-11-2021 à 19:29:52 (S | E)
En fait ce qui a été dit précédemment est déjà une réponse simple à ta question posée .J'ai attendu au moins une réponse de ta part !!!

On peut encore faire le travail autrement et en appelant T une période (s'i elle existe) de f et non pas $2k\pi$ comme tu l'avais pris ou supposé à l'avance . Voici donc la nouvelle méthode encore plus générale ,en plus du résultat prouve ou justifie pourquoi $T=2\pi/3$ est la plus petite période positive de f .

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