Variation fonction

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Variation fonction
Message de liliebrt posté le 29-01-2022 à 15:27:27 (S | E | F)
Bonjour, excusez moi de vous déranger mais j’ai un petit souci concernant un DM.

On considère la fonction f(x)= (-2x^2+8x+16) exp(2x-5)

1) démontrer que f’(x)=(-4x^2+12x+40) exp(2x-5)

J’ai fait :
f’(x)= (-4x+8)exp(2x-5)+(-2x^2+8+16)*2*exp(2x-5)
=(-4x+8-4x^2+16+32)exp(2x-5)
=(-4x^2+12x+40)exp(2x-5)

2) déterminer les racines évidentes de -4x^2+12x+40 puis en donner une expression factorisée

Les racines sont -2 et 5 mais je ne sais pas faire la suite

3) déterminer le signe de la dérivée (on utilisera un tableau)
4) en déduire les variations de f

Merci d’avance pour votre aide

Réponse : Variation fonction de liliebrt, postée le 29-01-2022 à 16:13:03 (S | E)
Pour l’expression factorisée j’ai trouvé -4(x+2)(x-5) mais je ne suis pas sure.
Si c’est bien ça, je pense que f’(x) est négatif sur ]-infini;-2], positif sur [-2;5] et négatif sur [5; +infini[
Et donc f(x) est décroissante, croissante, puis décroissante

Réponse : Variation fonction de tiruxa, postée le 29-01-2022 à 21:19:20 (S | E)
Bonjour

Oui c'est juste il y a juste une étourderie dans le calcul :

f’(x)= (-4x+8)exp(2x-5)+(-2x^2+8x+16)*2*exp(2x-5)
=(-4x+8-4x^2+16x+32)exp(2x-5)
=(-4x^2+12x+40)exp(2x-5)

Réponse : Variation fonction de liliebrt, postée le 30-01-2022 à 08:48:19 (S | E)
J’ai mal recopié effectivement
J’ai aussi une question sur un autre exercice du dm :

Des fonctions pouvant s’écrire sous la forme g(x)=(ax+b)/(cx+d) avec c différent de 0 sont appelées fonctions holographiques. Elles sont définies sur R{-(d/c)}. Leurs représentation graphiques sont des hyperboles. La fonction inverse en est un cas particulier.

Démontrer que les fonctions holographiques sont toujours soit croissantes, soit décroissantes sur ]-infini; -(d/c)[ et sur ]-(d/c); +infini[ et que leur sens de variation est le même sur chacun de ces intervalles. (Une fonction toujours croissante ou décroissante est appelée fonction monotone)

Je ne sais pas du tout par où commencer, je suis complètement perdue…

Réponse : Variation fonction de liliebrt, postée le 30-01-2022 à 08:49:38 (S | E)
homographiques* désolée c’est le correcteur d’orthographe

Réponse : Variation fonction de tiruxa, postée le 30-01-2022 à 11:32:06 (S | E)
Il suffit de déterminer sa dérivée et de justifier que le signe de cette dérivée ne dépend pas de x, il est donc soit toujours positif soit toujours négatif ce qui permettra de conclure pour le sens de variation de f.

C'est assez facile à dériver car a, b, c et d sont des constantes.

Réponse : Variation fonction de liliebrt, postée le 30-01-2022 à 12:00:21 (S | E)
g(x)=(ax+b)/(cx+d)

donc g’(x)= (ad-bc)/(cx+d)^2
le dénominateur est donc toujours positif

Le signe de la dérivée dépend alors du numérateur, ne contenant que des constantes donc :
Si ad-bc > 0 c’est à dire si ad > bc alors la dérivée est positive et la fonction est croissante.
Si ad-bc < 0, c’est à dire si ad<bc alors la dérivée est négative et la fonction est décroissante

Réponse : Variation fonction de tiruxa, postée le 30-01-2022 à 12:39:27 (S | E)
Oui c'est ça
mais attention f est strictement croissante (ou décroissante) sur ]-infini; -(d/c)[ et sur ]-(d/c); +infini[. Bien préciser les intervalles car elle n'est pas définie sur R.

Réponse : Variation fonction de liliebrt, postée le 30-01-2022 à 12:48:53 (S | E)
Merci d’avoir pris le temps de me répondre !

Bonne journée !

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