Fonction du 3e degrï¿½ et discriminant

Fonction du 3e degré et discriminant
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Fonction du 3e degré et discriminant
Message de maths25 posté le 22-10-2023 à 19:39:56 (S | E | F)
Bonsoir, j’ai un exercice à réaliser mais je ne saisp as par où commencer. Je sais qu’il y aura un discriminant et un tableau de signes, si je pouvais avoir un peu d’aide pour cet exercice
Merci d’avance !
Voici l’exercice :
Soit f la fonction définie sur R par f(x)= -× au cube + 4x au carré - 5x + 2.
1. Montrer que f (x) est factorisable par x-2 et factoriser f(X).
2. Résoudre f (х) =0.
3. Résoudre f(x) <0

Réponse : Fonction du 3e degré et discriminant de wab51, postée le 22-10-2023 à 21:07:34 (S | E)
Bonsoir
f(x)=-x^3+4x²-5x+2
1. Montrer que f (x) est factorisable par x-2 et factoriser f(X).
il suffit de prouver que x=2 est une racine de f(x) autrement dit que pour x=2 alors f(2)=0
Donc le polynome f s'écrit f(x)=(x-2)Q(x) où Q(x) est un polynome du second degré . Et comme on peut encore voir que 1 est aussi une racine évidente du polynome f car f(1)=0 alors f peut encore s'écrit f(x)=(x-2)(x-1)R(x) =(x²-3x+2)R(x) dont R(x) est un polynome du 1er degré et s'écrit donc R(x)=ax+b où a≠0 et b réels.Pour trouver les deux coefficients réels a et b , appliquer le théorème pour que deux polynomes soient égaux .

2. Résoudre f (х) =0.
A partir de la factorisation de la Q-1) précédente ( chacun des facteurs doit etre nul)

3. Résoudre f(x) <0
Etudier le signe de f factorisé .Je vous laisse faire et c'est facile !

Répondre aux questions et transmettre résultats .Bonne continuation et bon courage

Réponse : Fonction du 3e degré et discriminant de maths25, postée le 25-10-2023 à 12:44:40 (S | E)
Merci beaucoup ! Cependant pour la 1ère question j’ai utilisé la division euclidienne. Et avec le résultat factorisé (-x^2+2x-1)je n’arrive pas à réaliser le produit nul.

Réponse : Fonction du 3e degré et discriminant de wab51, postée le 25-10-2023 à 15:16:22 (S | E)
Bonjour
pour la 1ère question j’ai utilisé la division euclidienne. Et avec le résultat factorisé (-x^2+2x-1)je n’arrive pas à réaliser le produit nul.
Votre méthode à utiliser "la division euclidienne " est très bonne à travers laquelle vous aviez trouvé aussi que f(x)=(x-2)(-x²+2x-1) .Il suffit de voir que le 2e facteur -x²+2x-1=-(x²-2x+1) et tout simplement que x²-2x+1=(x-1)² (donc un carré ,identité remarquable) et par conséquent
f(x)=-(x-2)(x-1)² (dont on peut dire x=2 es une racine simple et x=1 racine double). Voilà je pense que c'est encore beaucoup plus claire .
Bonne continuation

Réponse : Fonction du 3e degré et discriminant de maths25, postée le 26-10-2023 à 19:41:51 (S | E)
Je comprends mieux ! Merci beaucoup

Réponse : Fonction du 3e degré et discriminant de wab51, postée le 26-10-2023 à 22:34:10 (S | E)
content que tu as compris les deux premières questions dont je résume les résultats :
1-Q) La division euclidienne de f(x)=-x^3+4x²-5x+2 par (x-2) et qui a pour reste zéro s'écrit donc f(x)=(x-2)(-x²+2x-1) . On s'arrêter là avec une mise en facteur avec deux facteurs où mieux encore f(x)=-(x-2)(x-1)² (voir explications dans mes précédents messages)
2-Q) f(x)=0 soit -(x-2)(x-1)²=0 d'où x-2=0 et donc x=2 , ou (x-1)²=0 x=1 .Solutions de l'l'équation f(x)=0 est S={1,2} (donc deux solutions) .
3-Q) .Tu n'as toujours répondu à cette dernière question : Résoudre l'inéquation f(x)<0 ???
Je te rappelle deux règles :
1) le carré est toujours positif
2) Si on multiplie (ou divise) une inéquation par un nombre négatif alors le sens de l'inéquation change .
N'oublier pas de répondre à cette dernière question et poster les résultats pour confirmation . Bon courage

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