Bonjour à tous,
Puisque Marie a fait une bonne démonstration, pourquoi pas résoudre son exercice?!
Application : Calculer la somme des nombres entiers de 105 à 247.

Donc, voici ma proposition :

On sait que :S = n(n+1)/2
Par exemple, si n=5, la somme des nombres entiers de 1 à 5 est : S = 5(5+1)/2 = (5 x 6)/2 = 30/2 = 15.
Ainsi, por résoudre l'exercice de Marie, c'est autre chose:

105+106+107+108+109+..........+245+246+247
=105+(105+1)+(105+2)+(105+3)+(105+4)+........+(105+140)+(105+141)+(105+142)
=[(247-105)+1] x 105+1+2+3+4+5+7+8+.............140+141+142
=(143 x 105) +[(142 x 143)/2]
=15015 + 20306/2
=15015 + 10135
=25150

Alors, la somme des nombres entiers de 105 à 247 est 25150, si je ne me suis pas trompé...
Merci Marie pour ton exercice.
Cordialement.

Bonjour à tous,
Voici la correction de mon exercice:
Application :
Démontrez par récurrence sur n (n appartient à N*) que:
-somme des n premiers entiers naturels non nuls:
1+2+....+n = n(n+1)/2
-somme des carrés des n premiers entiers naturels non nuls:
1²+2²+....+n² = n(n+1)(2n+1)/6

n appartient à N* car pour n=0 le premier membre n'est pas défini:
On ne peut pas aller en croissant de 1 à n=0.
1/ La propriété est vraie pour n = 1 : en effet 1 = 1x2/2
Supposons quelle soit vraie pour un certain entier n>0 :

S_n = 1+2+.....+n = n(n+1)/2

Alors S_n+1 = 1+2+.....+n+(n+1)

= n(n+1)/2 + (n+1)

= n(n+1)/2 + 2(n+1)/2

= (n+1)(n+2)/2 ==> la propriété est vraie aussi pour n+1.

Donc, par récurrence, elle est vraie pour tout entier n>0

-Autre démonstration (voir post de marie11 ci-dessus):
S_n = 1 + 2 +............+p+.......+(n-1)+n
S_n = n+(n-1)+........+n-(p-1)+...+ 2 + 1
==> La somme de deux termes écrits l'un en dessous de l'autre est égale à n+1, et il y a n termes.
en additionnant ces deux égalités membre à membre on a donc

2S_n = n(n+1) , soit S_n = n(n+1)/2
C'est la méthode générale pour calculer la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique (1+2+.....+n est la somme des n premiers termes de la progression arithmétique de 1^er terme 1 et de raison 1).
Remarque : On a montré que 1+2+.....+n = n(n+1)/2
Donc, on a montré que n(n+1)/2 est un entier.
En effet parmi les deux entiers consécutifs n et n+1 , il y a toujours un multiple de 2.

2/ La propriété est vraie pour n = 1 : 1² = 1(1+1)(2+1)/6
Supposons quelle soit vraie pour un certain entier n>0 :

S'_n = 1²+2²+.....+n² = n(n+1)(2n+1)/6

alors S'_n+1 = 1²+2²+........+n² + (n+1)²

= n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)²

= (n+1)[n(2n+1)+6n+6]/6

= (n+1)(n+2)(2n+3)/6

= (n+1)[(n+1)+1][2(n+1)+1]/6

(Car on vérifie que [n(2n+1)+6n+6] = (n+2)(2n+3).(il suffit de développer ces deux expressions pour constater qu'elles sont égales))

==> la propriété est vraie aussi pour n+1, donc elle est vraie pour tout entier n>0

Bon travail Marie.
Cordialement.
Younes.